matematika II

PELUANG (PROBABILITAS)
Oleh : Moh. Subhan


A. Permutasi dan kombinasi
Permutasi dan Kombinasi merupakan bagian dari suatu tekhnik menghitung. Dengan Permutasi dan Kombinasi akan jelas adanya suatu tekhnik menghitung yang sistematik. Dengan memperhatikan urutan objek ataupun pasangan objek, ternyata diperoleh suatu bentuk umum penghitungan-penghitungan tertentu.
Sebelum pembahasan Permutasi dan Kombinasi lebih lanjut, akan dibahas beberapa pengetahuan yang menunjang peori Permutasi dan Kombinasi.
1. Prinsip Fundamental dari Membilang
Prinsip Fundamental dari Membilang adalah jika suatu peristiwa dapat terjadi dalam m cara yang berbeda dan setelah peristiwa itu terjadi, peristiwa lain dapat terjadi dalam n cara yang berbeda, maka kedua peristiwa itu dalam urutan tersebut terjadi dalam (m x n) cara yang berbeda.
Contoh 1 :
Ada 3 tempat, yaitu P, Q, R. dari P ke Q dihubungkan dengan 3 jalan; dari Q ke R dihubungkan dengan 2 jalan (Gambar 1). Dengan berapa cara orang dapat bepergian dari P ke R ?.

I 1
P II Q R
III 2
Gambar 1



Dari Gambar 1 dapat disusun tabel berikut :
Jalan P ke Q Jalan Q ke R
1 2
I I,1 I,2
II II,1 II,2
III III,1 III,2

Dari Tabel diatas diperoleh hasil, bahwa kita dapat bepergian dari P ke R dengan 6 cara. Ternyata 6 cara tersebut dapat diperoleh langsung dari 3 x 2 = 6.


Contoh 2.
Seseorang mempunyai 6 kemeja dan 4 celana yang berbeda coraknya. Dengan berapa cara orang tersebut dapat menggunakan setelan pakaian tersebut?
Misalkan Kemeja = {K1, K2, K3, K4, K5, K6 } dan Celana = {C1, C2, C3, C4}, maka orang tersebut dapat menggunakan setelan sebanyak ……cara (lengkapi tabel berikut)
Kemeja Celana
C1 C2 C3 C4
K1 K1 C1 K1 C2 K1 C3 K1 C4
K2 K2C1 K2C2 K2C3 K2C4
K3 K3C1 K3C2 K3C3 K3C4
K4 K4C1 K4C2 K4C3 K4C4
K5 K5C1 K5C2 K5C3 K5C4
K6 K6C1 K6C2 K6C3 K6C4
Dari tabel diatas diperoleh hasil bahwa orang tersebut dapat menggunakan setelan pakaiannya dengan (6 x 4) = 24 cara.

2. Faktorial “!”
Notasi bilangan k! (baca : k factorial) adalah hasil perkalian semua bilangan asli dari n1 sampai k.
Jadi k! = 1 x 2 x 3 x ……x (k-2) x (k-1) x k, atau
k! = k (k-1) x (k-2) x ….. x 3 x 2 x 1
Definisi :
1. n x (n-1 ) x (n – 2 ) x ….3 x 2 x 1 = n! (baca n factorial)
2. (n-r) x (n-r-1) x (n-r-2) x …..x 2 x 1 = (n-r)! {baca (n-r) factorial}
3. 0! = 1

n! = (n-1)! X n  Untuk n anggota bilangan asli berlaku :


Contoh :
1. Untuk n = 4 diperoleh
2. Untuk n = 7 diperoleh
3. Untuk n = 1 diperoleh
LATIHAN
1. Dalam suatu ruang tunggu terdapat 5 kursi dan 7 orang yang akan menggunakan kursi tersebut. Satu kursi hanya boleh dipakai oleh satu orang saja. Dengan berapa cara orang-orang tersebut dapat duduk dikursi itu. (Code : PL1,1)
2. Dari angka 1, 3, 5, 9 dibentuk lambing bilangan yang terdiri atas tiga angka, dengan syarat tidak boleh ada angka yang berulang. (Code : PL1,4)
a. Berapa banyaknya bilangan yangt terjadi
b. Berapa banyaknya bilangan yang nilainya < 500 c. Berapa banyaknya bilangan yang nilainya > 300
d. Berapa banyaknya bilangan banjil yang terjadi
3. Hitunglah : (PL2,1ade)
a. 3!
b.
c.
4. Nyatakanlah dalam notasi factorial (PL2,2ab)
a. 12 x 11 x 10 x 9
b.
5. Tentukanlah nilai h yang memenuhi persamaan berikut(PL2,4ad)
a.
b.
B. PERMUTASI
1. Permutasi dengan objek yang berlainan
Perhatikan Permasalahan tentang membaca 3 buku yaitu buku A, B dan buku C. Ada berapa cara seseorang yang berkehendak membaca buku tersebut ?. Dalam hal ini kejadianmembaca buku dilakukan satu per satu, tidak mungkin besama-sama, walaupun bukunya dibuka bersamaan , tetapi mambacanya pasti satu per satu.
Cara penyelesaian masalah ini adalah:
1. Membuat susunan yang terjadi, kemudian menghitungnya
2. Diagram pohon dan cabang-cabangnya
Pada dasarnya, cara 1 ataupun cara 2 sama, tetapi cara 2 memperkecil kemungkinan adanya susunan yang terulang atau terlupakan.
Untuk diagram pohon, sebagai titik pangkal (Origin) digunakan titik O, sehingga gambarnya sebagai berikut :
Membaca Membaca Membaca Susunan terjadi
Ke 1 Ke 2 Ke 3 B C ABC

A C B ACB

A C BAC
Pangkal O B
C A BCA
A B CAB
C
B A CBA
Dari keenam susunan yang mungkin terjadi jelas sekali, bahwa susunan yang satu dengan dengan susunan yang lain berbeda.
Setiap susunan (urutan) ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, dan CBA disebut Permutasi tiga unsur. Banyaknya Permutasi 3 unsur yang setiap kali diambil dari 3 unsur dinyatakan dengan 3P3. Jadi, 3P3 = 6
Cara Penyelesaian yang lain adalah dengan jalan mengisi kolom-kolom dengan pola pikir sebagai berikut :
Karena yang disusun adalah 3 buku, maka diperlukan 3 buah kolom sebagai berikut :


Untuk tahap pertama, kita bisa memilih membaca buku A, atau buku B atau buku C. Jadi kita bisa memilih 1 buku dari 3 buku yang tersedia, oleh karenanya kolom pertama diisi dengan angka 3


Untuk tahap kedua, buku yang dibaca tinggal 2 buah, oleh karenanya kolom kedua diisi dengan angka 2


Untuk tahap ketiga, karena pilihan bukunya tinggal 1 buah, maka kilom ketiga diisi dengan angka 1, sehingga kolomnya menjadi


Jadi, banyaknya susunan yang berbeda = 3 x 2 1 = 6
Atau
3P3 = 3 x 2 x 1 = 6
Bagimana sekarang jika buku yang dibaca hanya 2 buku saja dari 3 buah buku yang tersedia ?, Kemungkinan yang terjadi seperti gambar berikut ;

Membaca Membaca Susunan terjadi
Ke 1 Ke 2 B AB

A C AC

A BA
Pangkal O B
C BC
A CA
C
B CB
Banyaknya Permutasi 2 unsur yang diambil dari 3 unsur adalah 3P2 = 6
Atau 3P2 =
3P1 = 3 atau
Jadi, suatu permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berlainan dapat dicari dengan rumus :
nPr =
Dari definisi factorial, maka diperoleh rumus permutasi sebagai berikut ;
nPr=
Karena 0! = 1, maka untuk r = n, rumus menjadi
nPn =
Contoh Soal :
1. Tentukanlah 6P2, 6P4, 6P6
2. Berapa banyaknya kata yang terdiri atas 5 huruf dapat dibentuk dari kata BUKTI

2. Permutasi dengan Beberapa Objek yang sama
Dalam kehidupan sehari-hari ternyata bahwa dari suatu kumpulan unsur tidak selalu semua unsur-unsurnya berbeda, ada beberapa unsur yang sama oleh karenanya harus ditemukan rumus-rumus yang sesuai.
Padahal dalam persoalan permutasi tidak dibenarkan adanya objek dipakai berulang, kecuali jika dinyatakan khusus dalam soal.
Contoh 1
Ada berapa cara menyusun huruf-huruf dari kata ALAM
Jawab
Jika semua hurufnya berbeda, maka banyaknya kata-kata yang dapat dibentuk adalah 4! (yaitu 4P4), tetapi karena ada 2 huruf A, maka hasilnya menjadi berbeda
Misalnya : Kata AALM, LAAM, MAAL, atau kata ALAM andaikan huruf A diberi indeks, sehingga menjadi dan berbeda, maka terdapat 4! Cara. Tetapi sebenarnya A1 adalah sama dengan A2 dan banyaknya permutasi dari dua unsur ini (A1 dan A2) = 2!
Sehingga banyaknya permutasi seluruhnya adalah
Contoh 2
Bunda Rahma akan menyusun 4 buah buku A, 2 buah buku B dan sebuah buku C pada suatu rak buku, ada berapa cara yang dapat dikerjakan oleh Bunda Rahma?
Jawab
Cara berpikir untuk menyelesaikan permasalahan itu adalah sebagai berikut. Buku-buku yang sama diberi indeks
Misalnya : buku AAAABBC adalah diberi indeks menjadi , , , , , ,
Jika Semua buku yang dianggap berbeda, permutasinya adalah 7! = 5040
Maka untuk buku yang sama permutasinya adalah 4! = 24, untuk buku B yang sama permutasinya adalah 2!=2 sehingga permutasi seluruhnya menjadi

Kesimpulan :
Jika suatu kumpulan terdiri atas n unsur terdapat unsur-unsur yang sama, misalkan
= unsur jenis ke-1
= unsur jenis ke-2
= unsur jenis ke-3
.
.
.
= unsur jenis ke-k
maka banyaknya permutasi (P) dari n unsur seluruhnya dirumuskan sebagai :

+ + +….+ =
Jika suatu kumpilan yang banyaknya n unsur dan terdiri atas dua macam unsur, yaitu r unsur jenis ke-1 dan (n-r) unsur jenis ke-2, maka banyaknya Permutasi dari n unsur seluruhnya menjadi :


Contoh :
Ada berapa kata dapat disusun dari kata CACAT
Jawab
Kata CACAT dapat ditulis dengan AACCT (menurut pengelompokan huruf)
= 2
= 2
= 1

Jadi kata yang dapat disusun dari kata CACAT ada 30 kata
Latihan
1. Ada berapa cara menyusun angka 2233344455
2. Ada berapa cara menyusun kata dari kata PERIKANAN

3. Permutasi Siklis
Contoh :
Dalam suatu pertemuan, Ayu, Putri, Briliant dan Yaye duduk menelilingi sebuah meja bundar, dengan berapa cara keempat orang itu duduk?




Jawab

4 1


3 2
Gambar 1


1 2 3 4








Gambar 2

Misalkan keempat orang itu duduk dalam posisi seperti Gambar 1, maka setiap putaran searah dengan jarum jam akan menempatkan mereka pada posisi yang sama dengan 4 cara yang berlainan, jika mereka seandainya duduk dalam satu baris, seperti Gambar 2.
Jadi, banyaknya cara empat orang itu duduk dalam satu baris sama dengan empat kali banyaknya cara mereka duduk dalam satu lingkaran
Atau
4!=4 x banyaknya cara 4 orang itu duduk mengelilingi meja bundar
maka banyaknya cara Ayu, Putri, Brilliant, dan Yaye duduk mengelilingi meja bundar ialah
Secara Umum dapat dikatakan bahwa:
Banyaknya permutasi n unsur = n X banyaknya permutasi siklis n unsur
Banyaknya permutasi siklis n unsur =
Contoh :
Berapa cara 8 orang dalam suatu jamuan makan dapat diatur tempat duduknya mengelilingi sebuah meja bundar


4. Kombinasi
Misalkan kita mempunyai himpunan dengan n elemen (n objek). Suatu kombinasi r objek dari n obkek, atau suatu kombinasi r, adalah sembarang pemilihan r objek dari n objek dengan urutan tidak diperhatikan. Notasi kombinasi r objek dari n objek adalah
nKr atau

Definisi
Kombinasi dari anggota suatu himpunan adalah sembarang pemilihan dari satu atau lebih anggota himpunan itu tanpa memperhatikan urutan

Tabel berikut adalah tabel jumlah kombinasi 3 huruf dari 4 huruf a, b, c, d dan permutasi 3 huruf dari 4 huruf yang disediakan
Kombinasi Permutasi
abc abc, acb, bac, bca, cab, cba
abd abd, adb, bad, bda, dab, dba
acd acd, adc, cad, cda, dac, dca
bcd Bcd, bdc, cbd, cdb, dbc, dcb
Jadi, jumlah kombinasi 3 huruf dari 4 huruf dikalikan dengan 3! Sama dengan permutasi 3 huruf dari 4 huruf

Banyaknya kombinasi dari suatu himpunan yang terdiri dari n unsur yang berbeda, diambil r unsur pada suatu waktu, atau r unsur tanpa diulang adalah :


Jadi
Contoh
Dari kepengurusan suatu organisasi yang terdiri atas 8 orang ingin membentuk pengiris inti 3 orang, yaitu sebagai ketua, sekretaris dan bendahara. Berapa banyak susunan pengurus ini yang dapat dibentuk
Jawab
n = 8 dan r = 3
adalah
Kasus
,

C. PROBABILITAS
Timbulnya teori kemungkinan (probabilitas/peluang) adalah dari gelanggang perjudian. Tetapi beberapa tokoh agama seperti Pascal, Laplace, de Moivre, dan lain-lain telah mengembangkan teori kemungkinan bukan untuk perjudian, melainkan untuk ilmu pengetahuan (science). Cabang ilmu yang berdasarkan atas teori kemungkinan dan pada saat ini tumbuh berkembang dengan pesatnya adalah statistika.
Untuk mempelajari probabilitas perlu diketahui beberapa istilah yang akan digunakan.
Probabilitas adalah besarnya kemungkinan untuk menyatakan tentang suatu pernyataan
1. Ruang Sampel
Jika kita melempar sekeping koin, maka lemparan tadi dapat menghasilkan sisi muka (M) atau sisi belakang (B). Himpunan S = {M, B} disebut ruang sample untuk pelemparan satu koin, sedangkan anggota ruang sample yaitu M dan B masing-masing disebut titik sample.
Setiap himpunan bagian dari ruang sample dinamakan kejadian (pristiwa). Misalnya kita melakukan percobaan melempar sebuah dadu bermata enam, maka ruang sample yang terjadi adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Jika kejadian A adalah kejadian munculnya mata dadu genap pada percobaan melempar satu mata dadu, maka A = {2, 4, 6}. Bila Suatu kejadian elemen-elemennya adalah semua titik sample, maka kejadian itu dinamakan kepastian. Bila suatu kejadian merupakan himpunan kosong, maka kejadian itu dinamakan kemustahilan.
2. Peluang suatu Kejadian
Misalkan peluang suatu kejadian A, diberi symbol (notasi) P(A).
Banyaknya titik sample pada suatu ruang sample, mungkin berhingga mungkint tidak berhingga. Jika ruang sample berhingga dan setiap titik sample mempunyai kesempatan muncul yang sama, dan A adalah suatu kejadian (berarti , maka peluang terjadinya A dinyatakan dengan P(A) yang didefinisikan sebagai :

n(A) = Banyaknya elemen pada suatu kejadian A
n(S) = Banyaknya titik sample pada ruang sample

Misal :
Dua keeping mata uang dilempar bersama-sama, maka ruang sample S = {MM, MB, BM, BB}.
Jadi, n(S) = 4
Jika A adalah kejadian munculnya paling sedikit sayu sisi M, maka A = {MM, MB, BM}
Jadi, n(A) = 3
Nilai kemungkinan munculnya paling sedikit satu sisi muka M bila dua keeping mata uang dilempar bersama-sama adalah :








3. Frekuensi Harapan
4. Dua Kejadian yang saling Lepas (Saling Asing),
5. Dua Kejadian Saling Bebas